math 1

प्रश्नावली 1.1

1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग

कीजिए:

(i) 135 और 225

Step 1: बड़ा ÷ छोटा:

$$225 ÷ 135 = 1 \text{ शेष } 90$$

Step 2:

$$135 ÷ 90 = 1 \text{ शेष } 45$$

Step 3:

$$90 ÷ 45 = 2 \text{ शेष } 0$$

✅ शेषफल 0 मिलते ही, पिछले भाजक ही HCF होता है।🔷 Final Answer:

$$\boxed{{\displaystyle \text{HCF(135, 225) = 45}\text{<br>}\text{<br>}\text{<br>}\text{<span style="font-family: "Google Sans Text"; font-size: 11pt;"></span>}}}$$

(ii) 196 और 38220

हम Euclidean method से धीरे-धीरे करेंगे:

Step 1:

$$38220 ÷ 196 = 195 \text{ शेष } 0$$

✅ चौंकाने वाली बात — 196 इस संख्या को पूरी तरह विभाजित कर रहा है।

🔷 Final Answer:

$$\boxed{\text{HCF(196, 38220) = 196}}$$

(iii) 867 और 255

(iii) 867 और 255 का HCF

Step 1:

$$867 ÷ 255 = 3 \text{ शेष } 102$$

Step 2:

$$255 ÷ 102 = 2 \text{ शेष } 51$$

Step 3:

$$102 ÷ 51 = 2 \text{ शेष } 0$$

✅ शेषफल 0 → HCF = 51

2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q + 3 या 6q +5 के रूप का होता है.

जहाँ q कोई पूर्णांक है।

"क्या हर धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1, 6q+3 या 6q+5 के रूप में लिखा जा सकता है?"
चलिए जानते हैं इसका जवाब, पूरे लॉजिक के साथ।

📌 किसी भी पूर्णांक को जब हम 6 से भाग करते हैं, तो शेषफल यानी remainder —
0, 1, 2, 3, 4 या 5 में से कुछ एक हो सकता है।

यानि कोई भी संख्या इन रूपों में होगी:

👉 6q
👉 6q + 1
👉 6q + 2
👉 6q + 3
👉 6q + 4
👉 6q + 5

अब हम जानेंगे कि इनमें से कौन-कौन सी विषम संख्याएँ (Odd numbers) हैं।

🔸 6q — यह सम संख्या है, क्योंकि 6 एक सम संख्या है।
🔸 6q + 1 — यह विषम है
🔸 6q + 2 — यह सम है
🔸 6q + 3 — यह विषम है
🔸 6q + 4 — यह सम है
🔸 6q + 5 — यह विषम है

✅ तो दोस्तों, अब ये साफ हो गया है कि:

हर विषम पूर्णांक को 6q + 1, 6q + 3 या 6q + 5 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

आइए कुछ उदाहरण से इसे और पक्का करें:

📌 7 = 6×1 + 1
📌 15 = 6×2 + 3
📌 29 = 6×4 + 5

3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी

बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन

स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

616 और 32 का HCF निकालते हैं

हम Euclidean Algorithm का प्रयोग करते हैं:

$$616 ÷ 32 = 19 \text{ शेष } 8$$ $$32 ÷ 8 = 4 \text{ शेष } 0$$

✅ जब शेषफल 0 हो जाता है, तब पिछले भाजक (divisor) ही HCF होता है।

✅ HCF (616, 32) = 8

4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी

पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए:

🔹 $n = 3q$

🔹 $n = 3q + 1$

🔹 $n = 3q + 2$

अब हम तीनों स्थितियों में $n^2$ निकालेंगे:

---

▶️ Case 1:

यदि $n = 3q$

$$n^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$$

👉 यह 3 का गुणज है

$$\boxed{n^2 = 3m \text{ के रूप का है}}$$

---

▶️ Case 2:

यदि $n = 3q + 1$

$$n^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$$

👉 यह $3m + 1$ के रूप में है

$$\boxed{n^2 = 3m + 1 \text{ के रूप का है}}$$

---

▶️ Case 3:

यदि $n = 3q + 2$

$$n^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$$

👉 यह भी $3m + 1$ के रूप में है

$$\boxed{n^2 = 3m + 1 \text{ के रूप का है}}$$

निष्कर्ष:

✅ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए:

$$n^2 \text{ या तो } 3m \text{ होता है, या } 3m + 1$$

जहाँ $m$ एक पूर्णांक होता है।

5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन

9m, 9m +1 या 9m +8 के रूप का होता है।

हम यहाँ $b = 3$ लेंगे

तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए:

$$n = 3q \quad \text{या} \quad 3q + 1 \quad \text{या} \quad 3q + 2$$

अब हम तीनों केस में $n^3$ निकालेंगे।

---

▶️ Case 1: $n = 3q$

$$n^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9 \times (3q^3)$$

✅ यानी ये 9 का गुणज है

$$\boxed{n^3 = 9m \text{ के रूप का है}}$$

---

▶️ Case 2: $n = 3q + 1$

$$n^3 = (3q + 1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1$$

✅ यानी ये 9m + 1 के रूप में है

$$\boxed{n^3 = 9m + 1}$$

---

▶️ Case 3: $n = 3q + 2$

$$n^3 = (3q + 2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8$$

✅ यानी ये 9m + 8 के रूप में है

$$\boxed{n^3 = 9m + 8}$$

---

🔚 निष्कर्ष (Conclusion):

✅ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए उसका घन:

$$n^3 \text{ = } 9m, \quad 9m + 1, \quad \text{या} \quad 9m + 8 \text{ के रूप में होता है}$$

जहाँ $m$ कोई पूर्णांक है।